Numerologi dan Motif Rangkaian Invarian

Problema Desainer: ”Sebuah perusahaan multinasional yang bermarkas di kawasan BHTV, yaitu Invariant Circuits Ltd, memproduksi peralatan elektronik bernama Invarray. Perusahaan ini melayani berbagai macam pembeli; mulai dari perorangan, universitas/ lembaga riset, industri telekomunikasi, sampai badan ruang angkasa. Elemen dasar Invarray adalah Frakcell, suatu komponen yang diproduksi secara massal dan semuanya memiliki impedansi (tahanan) seragam sebesar R. Pada dasarnya Invarray adalah Frakcell yang dirangkai secara serial, paralel, self-similar dan kombinasinya. Karena rangkaian penyesuai impedansi juga diproduksi massal dengan impedansi yang juga seragam, diinginkan agar berapapun Frakcell yang terpasang, impedansi total dari Invarray tetap sama, yaitu sebesar R. Kinerja alat yang dibuat dan ongkos pembuatannya sebanding dengan M, jumlah Frakcell yang ada dalam suatu Invarray. Jika bentuk desain rangkaian apapun dapat dilayani tanpa tambahan biaya, berikan desain dan nilai M terdekat sesuai pesanan tanpa mengorbankan kinerja alat ini.”

Permasalahan yang dihadapi dalam mendesain rangkaian invarian kurang lebih dapat dinyatakan dalam Problema Desainer seperti diatas. Desainer dalam PT Invariant Circuit harus berpikir keras agar jumlah FrakCell dalam Invarray sesedikit mungkin, tetapi kinerja minimal yang diinginkan pemesan dapat dipenuhi. Karena pemesan bervariasi, mulai dari peneliti perorangan sampai dengan badan ruang angkasa sekelas, ada baiknya desainer punya tabel atau basis data desain.

Analisis lebih lanjut menunjukkan adanya berbagai macam kombinasi rangkaian invarian yang dapat dibuat. Bahkan, untuk jumlah tahanan M yang sama bisa jadi ada banyak pilihan desain atau ada berbagai motif/ topologi. Dengan demikian permasalahan ini sebenarnya tidak sesederhana, oleh karena disini hanya akan ditinjau beberapa desain saja.

Desain pertama tentu adalah R_F^[k] terdahulu yang akan kita sebut sebagai (rangkaian invarian) Tipe-1, dengan jumlah resistor yang dibutuhkan sebesar M₁=(4)^k dimana k=0, 1, 2, … dst. Dengan demikian, resistor sebanyak M₁ = 1, 4, 16, 64, … akan secara sempurna membentuk Tipe-1 ini.

Gambar 1. Rangkaian Invarian Type 2

Variasi dari Tipe 1 diperoleh jika satu sisi dari segiempat pada jembatan digantikan dengan R_F, sedangkan sisanya dibiarkan sebagai satu buah R saja. Selanjutnya, pengembangan ke orde tinggi hanya dilakukan pada R_F seperti diperlihatkan pada Gambar 1. Bentuk ini akan disebut sebagai Tipe 2 dan memiliki nilai M₂= 4^k+3 untuk k=0, 1, 2, … dst. Dengan demikian jumlah resistor yang dapat dipakai adalah M₂ = 4, 7, 19, 67, …dst.

Gambar.2 Rangkaian Invarian Tipe 2.A

Jika perkalian Kronecker dilakukan pada elemen dasar pada Tipe 2, akan didapatkan jenis baru dari rangkaian invarian yang akan dinamakan sebagai Tipe 2.A. TIpe ini membutuhkan resistor sejumlah M_2A= 7^k dimana k=0, 1, 2, 3, … dst sehingga M_2A = 1, 7, 49, 343, 2401 … dst.

Gambar 3. Rangkaian Invarian Tipe 3

Proses yang sama seperti sebelumnya pada pembentukan Tipe 2 dapat dilakukan dengan menggantikan satu lagi tambahan R_F pada elemen dasar Tipe 1. Hasilnya adalah Tipe 3 dengan M₃= 2(4^k)+2; dimana k = 0, 1, 2, 3, … dst atau M₃=4, 10, 34, 130, … dst.

Gambar 4. Rangkaian Invarian Tipe 3.A

Selanjutnya, perkalian Kronecker dari elemen dasar Tipe 3 tersebut akan menghasilkan jenis baru yaitu Tipe 3.A dimana M_3A= 10^k; k=0, 1, 2, … dst sehingga diperoleh M_3A = 1, 10, 100, 1000, 10.000, …dst

Gambar 5. Rangkaian Invarian Tipe 4

Proses diatas dapat dilanjukan untuk memperoleh Tipe 4, yaitu menyisakan hanya satu lengan yang terdiri dari satu R sedangkan 3 yang lain adalah R_F. Tipe-4 akan memiliki M₄= 3(4^k)+1; k=0, 1, 2, 3, … dst sehingga diperoleh M₄=4, 13, 49, 193, … dst.

Gambar 6. Rangkaian Invarian Tipe 4.A

Rangkaian invarian Tipe 4.A diperoleh dari perkalian Kronecker pada elemen dasar Tipe 4. Dengan demikian jumlah tahanan yang dibutuhkan untuk membangun tipe ini adalah M_4A= 13^k; k=0, 1, 2, … dst sehingga diperoleh M_4A=1, 13, 169, 2197, … dst.

Gambar 7. Rangkaian Invarian Tipe 5

Disamping itu yang telah disebutkan diatas, ada lagi bentuk lain yang lebih sederhana yaitu dengan cara merangkai seri/paralel k buah resistor secara bergantian. Kita sebut jenis ini sebagai Tipe 5 dengan jumlah tahanan sebesar M₅=k² dimana, k=0, 1, 2, … dst. Dengan demikian maka M₅= 1, 4, 9, …. dst. Desain ini diusulkan oleh salah seorang pengunjung ber-identitas masadi.

Gambar 7. Rangkaian Invarian Type-6

Sementara itu pengunjung lain, Budi Sulistyo, memberikan desain yang juga tidak kalah uniknya. Langkah pembentukannya sbb: Sebuah rangkaian yg terdiri dari: (1R) diseri dgn (2R yg diparallel), maka akan diperoleh 3/2 R. Misal nilai ini kita lambangkan dgn R’.Kemudian 3 buah rangkaian_1 ini (R’) dirangkai dalam bentuk segitiga: (2R’ diseri) diparallel dgn (1R’) sehingga diperoleh nilai: 2/3 R’. Jadi nilai total hambatan adalah 2/3 * (3/2 R)=R. Hasilnya kita sebut sebagai Tipe 6 dengan M₆=3^2k = 9^k, dimana k=0, 1, 2, … dst, atau M₆= 1, 9, 81, 729, … dst.

Sebagai rangkuman, dari beberapa desain diatas kita telah mendapatkan nilai-nilai M sebagai berikut:

M₁ = 1, 4, 16, 64, …, 4^k, …

M₂ = 4, 7, 19, 67, …, 4^k+3, …

M_2A = 1, 7, 49, 343, …, 7^k, ….

M₃ = 4, 10, 34, 130, … , 2(4^k)+2, …

M_3A = 1, 10, 100, 1000, 10.000, …, 10^k, …

M₄ = 4, 13, 49, 193, …, 3(4^k)+1, …

M_4A = 1, 13, 169, 2197, …, 13^k, …

M₅ = 1, 4, 9, …., k², …

M₆ = 9, 81, 729, …, 9^k, …

Problema Desainer dapat dinyatakan kedalam suatu permainan (game). Jenis permainan ini mungkin cocok dilombakan pada seleksi asisten lab atau calon dosen Teknik Elektro …

Invariant Game: Setiap pemain diberikan M buah resistor yang nilai tahanannya seragam sebesar R. Peserta diminta untuk membuat rangkaian dengan menggunakan resistor yang disediakan sebanyak mungkin selama tahanan total yang dirangkai tetap bernilai R. Pemenang adalah pemain yang berhasil merangkai tahanan terbanyak atau yang menyisakan tahanan paling sedikit.

Punya usulan desain lainnya?

Tentu saja masih banyak bentuk rangkaian lain disamping yang telah diberikan diatas. Pembaca yang ingin menyampaikan hasil rancangannya dapat membuat dan memperlihatkan desain tsb di web dan kemudian mengirimkan alamat web tersebut ke komentar di blog ini. Selain gambar beberapa iterasi awal (dengan format PNG atau JPG), sebaiknya ada keterangan mengenai proses pembentukan, nilai-nilai M yang memenuhi syarat, dan identitas diri (jika mau).

Rangkaian Seri, Paralel, dan … Fraktal

Selama ini kita mengenal dua macam susunan dasar dari rangkaian listrik, yaitu susunan atau rangkaian seri dan rangkaian paralel. Jika ada k buah tahanan (resistor) dengan nilai seragam sebesar R, cara penyusuan k buah resistor ini akan mempengaruhi nilai tahanan total yang kita peroleh. Gambar-gambar berikut meyatakan susunan satu buah resistor R, rangkaian seri dari k buah resistor, dan rangkaian paralel-nya:

Gambar 1. Satu buah R, rangkaian seri, dan rangkaian paralel

Pada pelajaran Fisika tingkat SMA atau kuliah awal dalam Dasar Rangkaian Elektrik, kita tahu bahwa nilai total dari k buah tahanan seragam R yang disusun secara seri adalah

Rangkaian Seri: R_S = R + R + … + R = kR

Sedangkan jika tahanan tersebut disusun secara paralel, maka nilai total di kedua ujung rangkaian akan menjadi

Rangkaian Paralel: R_P = R //R// … //R = R/k

Notasi “+” telah dipakain untuk menyatakan susunan beberapa tahanan secara serial sedangkan notasi garis miring sejajar “//” dipakai untuk menyatakan rangkaian paralel. Tentu kita dapat mencampurkan kedua jenis susunan ini, lalu melakukan perhitungan secara bertahap dengan membagi tiap susunan ke elemen dasarnya, seri atau paralel.

Sebelum diskusi ini berlanjut, terlebih dahulu akan diperkenalkan suatu susunan jenis baru yang disebut sebagai susunan serupa-diri (self-similar) atau secara singkat disebut sebagai susunan fraktal. Nama ini dipilih karena bentuk dan proses konstruksinya mirip dengan fraktal deterministik, misalnya kurva Koch, Koch Snowflake, Sierpinsky Gasket, atau objek-objek geometri fraktal lainnya.

Gambar 2. Rangkaian tersusun fraktal R_F^[1], R_F^[2], dan R_F^[3]

Proses pembentukan rangkaian fraktal diawali dengan suatu elemen dasar fraktal, yaitu rangkaian paling kiri pada Gambar 2, berupa 4 buah tahanan terangkai secara campuran, seri dan paralel. Karena semua nilai setiap tahanan adalah R, maka tahanan total dikedua ujungnya (kiri-kanan atau atas-bawah) adalah R_T =(R+R)//(R+R) = 2R//2R = 2R/2 = R. Susunan tahanan ini akan kita sebut sebagai tahanan fraktal pertama atau tahanan fraktal orde-1 dan dilambangkan sebagai R_F^[1]. Tahanan fraktal orde-2 atau R_F^[2] dibuat dengan cara menggantikan setiap tahanan pada R_F^[1] dengan R_F^[1]. Demikian pula, tahanan fraktal orde-3 dibuat dengan cara menggantikan setiap tahanan pada tahanan fraktal orde dua R_F^[2] dengan tahanan fraktal orde satu R_F^[1]. Proses ini dapat diteruskan sampai orde ke-k berapapun yang kita inginkan. Cara pembentukan seperti ini mirip dengan operasi perkalian Kronecker “*” pada konstruksi matriks Hadamard. Kita akan memakai notasi ini untuk menyatakan penyusunan tahanan secara fraktal. Dengan demikian, proses pembentukan tahanan fraktal dari orde-1 sampai dengan orde ke-k dapat dituliskan

Orde -1 : R_F^[2] = R_F^[1]*R_F^[1]

Orde - 2: R_F^[3] = R_F^[1]*R_F^[1]ÄR_F^[1] = R_F^[2]*R_F^[1]

…

Orde – k: R_F^[k] = R_F^[k-1]*R_F^[1]

Tidak terlalu sulit untuk menyimpulkan bahwa berapapun orde dari tahanan yang terangkai secara fraktal ini adalah sama, yaitu R. Sebagai contoh kita akan mencoba menghitung R_F^[3]. Karena setiap elemen tahanan fraktal orde-1 bernilai R, maka penggantian setiap elemen R_F^[1] didalam R_F^[3] dengan tahanan ekivalennya, yaitu R, akan menghasilkan rangkaian setara dengan rangkaian fraktal orde dua R_F^[2]. Proses reduksi lebih lanjut untuk tahanan orde-2 ini akan menghasilkan tahanan orde-1. Dengan demikian, nilai tahanan total dari R_F^[3] adalah sama dengan tahanan total R_F^[2] dan juga sama dengan R_F^[1], yaitu R. Dalam konteks ini, kita dapat menyebut bahwa rangkain yang hanya terdiri dari satu tahanan saja, seperti pada Gambar 1 paling kiri, dapat dianggap sebagai R_F^[0]. Proses sintesis ini bisa dilakukan untuk orde-k berapapun. Akhirnya kita dapatkan ekspresi nilai tahanan total dari jembatan fratal orde k sebagai berikut:

Rangkaian Fraktal: R_F = R*R* … *R = R

Sebagai rangkuman, kita telah melihat tiga macam susunan rangkaian dasar dan cara menghitung nilai tahanan total jika diberikan k buah tahanan yang semuanya identik, yaitu R. Susunan seri memberikan nilai tahanan total sebesar kR, susunan paralel sebesar R/k, dan yang menarik adalah susunan fraktal menghasilkan nilai total R yang tetap atau invarian tanpa bergantung pada berapapun nilai k.

Berdasarkan konstruksi Kronecker, ada syarat bahwa jumlah tahanan M hanya akan terbatas pada nilai-nilai tertentu, yaitu

M = (4)^k

Pertanyaan berikutnya adalah, jika kita diperbolehkan mencampur ketiga macam rangkaian tersebut (seri, paralel, fraktal) dengan syarat tahanan totalnya tetap R, berapa sajakah nilai M yang memenuhi syarat? Apakah ada M lain disamping 4^k seperti diatas? Apakah M tidak boleh ganjil?

Hasil sementara dari masalah ini akan diuraikan pada tulisan berikutnya dengan judul tentatif: Numerologi Rangkaian Invarian. Mudah-mudahan satu minggu lagi tulisan tsb akan muncul didalam blog ini