Pencitraan Sintesis (3)

Pencitraan sintesis memanfaatkan prinsip interferometri untuk membentuk sebuah apertur “maya” raksasa dari beberapa aperture kecil yang tersebar dalam ruang. Teknik ini disebut sebagai sintesis apertur. Tulisan ini menjelaskan geometri pencitraan sintesis, formulasi matematika, dan proses sintesis apertur.

Formulasi Matematika Pencitraan Sintesis

Tinjau benda langit yang memancarkan gelombang radio yang terletak pada posisi R dari titik acuan di bumi. Medan listrik berubah waktu sebesar E(R,t) dari sumber akan dipancarkan ke segala penjuru, hingga tiba pada pengamat di Bumi yang terletak pada posisi r. Analisis dapat dilakukan dengan lebih sederhana dalam notasi fasor, dimana perubahan sinusoidal terhadap waktu diserap dan tidak berpengaruh langsung pada manipulasi matematis. Jika ditinjau komponen frekuensi tertentu dari gelombang, maka fasor medan listrik yang bernilai kompleks ini adalah . Subscript penanda frekuensi akan dihilangkan, namun tetap diingat bahwa gelombang hanya ditinjau pada suatu nilai frekuensi. Kondisi ini disebut kuasi monokromatik dan selanjutnya fasor medan listrik hanya akan dituliskan sebagai E(R).

Gambar 1. Geometri pencitraan interferometri radio

Komponen medan listrik dari gelombang radio/elektromagnetik (EM) yang tiba pada titik pengamat adalah hasil superposisi linier dari seluruh gelombang yang berasal dari sumber radio

(1)

Fungsi P(R, r) disebut juga propagator; suatu faktor yang menyatakan bagaimana perubahan medan listrik pada sumber di R mempengaruhi perubahan medan di sisi penerima pada posisi r. Jika ruang antara pengamat dan sumber dapat dianggap kosong, propagator akan memiliki bentuk sederhana dan persamaan (1) akan menjadi

(2)

dimana c adalah kecepatan rambat gelombang EM (3×10⁸ m/s). Persamaan (2) menyatakan bentuk umum komponen kuasi-monokromatik dari medan listrik pada frekuensi dari sumber radio kosmik. Teleskop radio dapat mengamati kuat medan listrik ini. Namun demikian, besaran yang lebih penting lagi adalah korelasi antar medan listrik yang teramati di dua stasiun pengamat atau teleskop radio yang berbeda; stasiun pertama terletak pada posisi r₁, sedangkan yang kedua berada pada posisi r₂. Korelasi antar keduanya dinyatakan sebagai visibility

(3)

dimana tanda ”*” menyatakan konjugasi kompleks. Substitusi persamaan (2) ke persamaan (3) akan menghasilkan

(4)

Dengan asumsi yang cukup realistis bahwa radiasi benda langit secara spasial bersifat tak-koheren, maka akan berharga nol jika , sehingga persamaan (4) dapat disederhanakan menjadi

(5)

Penyederhanaan lebih lanjut dapat diperoleh mengingat R>>r₁ dan R>>r₂, karena jarak antara pengamat (di Bumi) ke sumber ke radio berada pada orde tahun cahaya, sedangkan posisi pengamat atau baseline r₁ maupun r₂ dalam orde kilometer. Akibatnya pendekatan berikut ini dapat dipakai

dengan s menyatakan vektor satuan pada arah R, atau s = R/|R|.

Nilai magnitudo kuadrat dari medan listrik menyatakan intensitas atau tingkat kecerahan sumber radio. Dapat didefinisikan intensitas radiasi sebagai I= <|E|>² |R|². Dengan menggantikan integrasi luas dari objek dS dengan sudut , maka persamaan (5) akan menjadi

(6)

Inilah rumus dasar (governing equation) dalam pencitraan sintesis radio-interferometri, suatu formula yang menghubungkan visibility V(r) yang diukur oleh (jaringan) radio-teleskop dengan (sebaran) intensitas pemancar I(s) yang ingin ditentukan. Persamaan diatas menyatakan bahwa nilai visibility yang terukur tidak bergantung pada letak absolut r₁ maupun r₂, melainkan letak relatifnya, sehingga pengukuran dapat dilakukan dengan cara membuat satu stasiun pengamat tetap dan stasiun yang lain bergerak melakukan penyapuan ruang. Visibility juga disebut sebagai fungsi koherensi spasial atau fungsi autokorelasi spasial. Gambar 2 memperlihatkan diagram blok interferometer teleskop radio.

Gambar 2. Diagram blok interferometer teleskop radio (diadopsi dari [1])

Proses Inversi Citra Interferometri Radio

Jika sumber radio cukup kecil, dengan mengabaikan orde tinggi maka vektor s dapat dijabarkan sebagai s= s₀ + s, dimana s₀ ortonormal dan tegaklurus terhadap s. Suatu sistem koordinat baru dimana s₀ = (0,0,1) dapat dipakai, sehingga posisi relatif kedua stasiun penerima itu menjadi . Dengan demikian, vektor s akan menjadi s = (x,y,1) dan persamaan (6) dapat dinyatakan dalam koordinat citra berbentuk bidang datar (x,y)

(7)

Faktor eksponensial kompleks didepan integral pada ruas kanan biasanya diserap ke ruas kiri, lalu lambang yang sama untuk visibility dipakai lagi. Dengan demikian, persamaan (7) dapat disederhanakan lagi menjadi

[8]

dimana V (u,v) adalah fungsi koherensi relatif terhadap pusat fasa s₀.

Persamaan [8] adalah ekspresi transformasi Fourier dari citra I(x,y), dengan demikian citra yang dicari dapat diperoleh dari visibility melalui inversi Fourier

(9)

Pada prakteknya, tidak semua nilai fungsi visibility V di ruang u-v dapat diketahui, kecuali di sebagian kecil titik cuplikan di bidang Fourier dengan kualitas yang kurang baik. Dengan demikian, nilai visibilitas pada ruas kanan digantikan dengan nilai cuplikannya S(u,v)V(u,v) dimana

(10)

dan persamaan inversi pada persamaan (9) menghasilkan citra kotor (dirty image)

(11)

Pembobot w_k pada persamaan (11) dapat diatur agar terjadi perbaikan pada gambar kotor , misalnya dengan memasukkan waktu integrasi atau faktor kerapatan lokal dari cuplikan.

Daftar Pustaka

1. B.G. Clark, “Chapter 1: Interferometers and Coherence Theory,” in J.A. Zensus, P.J. Diamond, and, P.J. Napier (eds.), Very Long Baseline Interferometry and VLBA, ASP Conf. Series, Vol.82, 1995.

2. T. Cornwell, “Chapter 3: Imaging Concepts,” in J.A. Zensus, P.J. Diamond, and, P.J. Napier (eds.), Very Long Baseline Interferometry and VLBA, ASP Conf. Series, Vol.82, 1995.