Prinsip Ketidakpastian dan Kompresi Data (1)

Selama ini teknik kompresi data (sinyal) telah banyak dipakai untuk mengefisienkan penyimpanan dan pengiriman suara atau gambar pada peralatan komputer maupun ponsel. Biasanya orang mengenal kompresi sebagai metoda yang berkembang dalam bidang pengolahan sinyal dijital. Tanpa disadari, sebenarnya ada kaitan erat antara paradigma kompresi sinyal ini dengan prinsip fundamental yang dikenal dalam bidang Fisika Kuantum yaitu prinsip ketidakpastian.

Siapapun yang pernah belajar Fisika Modern tentu mengenal prinsip ketidakpastian Hiesenberg atau HUP (Heisenberg Uncertainty Principle). Prinsip ini menyatakan bahwa pengukuran posisi dan momentum suatu partikel tidak mungkin dibuat teliti kedua-duanya sekaligus, yakni

HUP adalah konsekuensi langsung dari sifat dualitas gelombang-partikel. Sebelum Teori Kuantum muncul, orang mengira bahwa ketelitian pengukuran posisi suatu partikel dan momentum (pada saat bersamaan) hanya akan dibatasi oleh ketelitian alat ukur. Prinsip diatas menyatakan larangan alam untuk mengetahui keduanya sekaligus secara teliti, sepresisi apapun alat ukur yang digunakan.

Selain relasi ketidakpastian dari momentum dengan posisi, HUP juga dapat dinyatakan sebagai hubungan ketidakpastian antara energi dengan waktu, yaitu

Menurut Max Planck, suatu foton yang memiliki frekuensi , akan memiliki energi sebesar dimana adalah konstanta Planck. Dengan demikian HUP untuk energi-waktu akan setara dengan

Pertidaksamaan diatas dinamakan juga prinsip ketidakpastian Weyl-Heisenberg (WHUP) yang berbunyi:

“a continuous-time signal cannot be simultaneously well-localized in both time and frequency“

Apakah bedanya dengan prinsip ketidakpastian yang sebelumnya? Jika HUP berbicara mengenai partikel dan gelombang sebagai objek fisik, WHUP menyatakan sifat umum dari prinsip ketidakpastian akan berlaku untuk sebarang sinyal atau fungsi kontinyu. Dalam bahasa pengolahan sinyal bisa ditafsirkan bahwa jika suatu sinyal s(t) terlokalisir dalam kawasan waktu maka transform Fourier dari sinyal ini,

akan tersebar dikawasan frekuensi dan demikian pula sebaliknya, suatu sinyal yang terlokalisir dikawasan frekuensi akan memiliki transform Fourier yang tersebar dikawasan waktu.

Gambar 1. Pasangan transform Fourier dari sinyal delta Dirac

Contoh dari sinyal kontinyu terlokalisir waktu adalah sinyal delta Dirac. Transform Fourier dari sinyal ini akan tersebar keseluruh rentang frekuensi, seperti yang diperlihatkan oleh Gambar 1. Karena delta Dirac adalah fungsi riil, maka haruslah transform Fouriernya bernilai kompleks. Gambar 1 sebelah kanan hanya menunjukkan nilai magnitude dari koefisien Fourier-nya untuk memperlihatkan sebaran komponen dominan dan terlihat disini bahwa semua komponen sama dominan-nya.

Fungsi delta dapat dilihat sebagai fungsi (distribusi) Gaussian dengan limit variansi mendekati nol. Kita akan memakai fungsi Gaussian ini untuk memperlihatkan (bukan membuktikan) bahwa implikasi tidak langsung dari WHUP adalah,

“sinyal kontinyu yang tersebar dalam kawasan waktu, akan terlokalisir pada kawasan frekuensi dan begitu pula sebaliknya.”

Pasangan Fourier dari fungsi Gaussian dengan mean nol dapat dituliskan sebagai berikut

Dari relasi diatas terlihat bahwa peningkatan variansi di kawasan waktu atau pelebaran sinyal Gaussian akan mengakibatkan penyempitan spektrum dikawasan frekuensi dan demikian pula sebaliknya, penyempitan sinyal di kawasan waktu akan melebarkan spektrum-nya. Dengan demikian, implikasi tak langsung dari WHUP tersebut menjadi jelas, khususnya untuk fungsi Gaussian. Fungsi-fungsi atau sinyal-sinyal waktu-kontinyu yang lain juga akan memiliki sifat yang demikian. Matlab Script berikut ini dapat dipakai untuk memperlihatkan fenomena ini.

%—————————————————–———-
% Script Matlab untuk memperlihatkan WHUP
%—————————————————————–
clear;clc;
t=-5:0.1:5; w=t; %koordinat waktu dan frekuensi.
sigma1=1; sigma2=0.5; sigma3=0.25;

%Hitung Fungsi Gaussian
g1=normal_baku(sigma1,t); g2=normal_baku(sigma2,t); g3=normal_baku(sigma3,t);

%Hitung transform Fourier-nya
G1=F_normal_baku(sigma1,w);
G2=F_normal_baku(sigma2,w);
G3=F_normal_baku(sigma3,w);

figure(1);plot(t,g1,t,g2,t,g3);
legend(’sigma’,’0.5sigma’,’0.25sigma’)
figure(2);plot(w,G1,w,G2,w,G3);
legend(’sigma’,’0.5sigma’,’0.25sigma’)

%—————————————————–
% Fungsi Gaussian
%—————————————————–
function [g]= normal_baku(sigma,t)
g=(1/sqrt(2*pi*sigma*sigma))*exp(-t.*t/(sigma*sigma));

%————————————————————————–
% Transform Fourier dari fungsi Gaussian
%————————————————————————–
function [G]= F_normal_baku(sigma,w)

G=exp(-w.*w*(sigma*sigma));

Keluaran dari program Matlab diatas diperlihatkan pada Gambar 2 dan Gambar 3. Disini jelas terlihat penyempitan fungsi Gauss pada kawasan waktu akan mengakibatkan pelebaran pada kawasan frekuensi.

Gambar 2. Fungsi Gaussian dengan berbagai nilai variansi

Gambar 3. Transform Fourier dari fungsi Gaussian pada Gambar 2

Sebelum diskusi dilanjutkan, akan terlebih dahulu disinggung sekilas mengenai suatu teorema yang sangat penting dalam transformasi sinyal, yaitu Teorema Parseval. Teorema ini pada prinsipnya adalah Hukum Kekekalan Energi dari sinyal, yang menyatakan bahwa pengukuran energi dalam kawasan waktu (misalnya dengan bantuan Osciloscope) dan pengukuran energi pada kawasan frekuensi (misalnya dengan Spectrum Analyzer) akan memberikan hasil yang sama. Teorema ini juga berimplikasi bahwa penghilangan komponen frekuensi tertentu dari sinyal akan mendistorsi sinyal kawasan waktunya, sepadan dengan magnitudo koefisien Fourier tersebut. Dengan demikian, hilangnya komponen dengan magnitudo rendah tidak akan mengubah bentuk sinyal semula terlalu banyak.

Untuk aplikasi pengolahan sinyal atau citra dijital, perhitungan dilakukan terhadap data dijital yang tak lain adalah fungsi-fungsi diskrit. Fungsi ini diperoleh dari fungsi kontinyu dengan melalui proses pencuplikan dan kuantisasi yang dapat dilakukan dengan sebuah ADC (Analog to Digital Converter).

• Apakah WHUP juga berlaku untuk fungsi diskrit?
• Apakah hubungan antara prinsip ketidakpastian, Teorema Parseval, dan kompresi data?
• Selain transformasi Fourier, adakah transformasi lain yang punya sifat mirip?
• Mengapa justru DCT dan bukannya DFT yang dipilih untuk kompresi JPEG?

Jawaban dan penjelasan lebih lanjut dari pertanyaan-pertanyaan diatas akan disajikan pada tulisan mendatang di blog ini.