Pipis Kecoa versus LCT (Limit Central Theorem)

Saya sering menyebut pengolahan citra dijital (Digital Image Processing) sebagai ilmu sihir. Betapa tidak, sebuah gambar yang tadinya penuh dengan kotoran—akibat dimakan waktu atau di-pipis-in kecoa, dapat kembalikan bersih (hampir) seperti sediakala melalui proses yang sederhana.

Cerita tadi menggambarkan salah satu teknik perbaikan citra (image restoration). Cara yang paling sederhana adalah dengan teknik perata-rataan dengan jendela yang berjalan (sliding window). Berdasarkan formulasi sistem linier, setiap proses pengolahan sinyal dapat dilihat dari dua kawasan, yaitu kawasan ruang-waktu dan kawasan frekuensi.

Dalam kawasan frekuensi, perata-rataan — yang sebenarnya adalah konvolusi citra dengan sebuah kernel, merupakan perkalian titik-demi-titik antara citra dengan (tanggapan impuls dari) tapis lolos rendah. Dengan demikian, proses ini akan menghilangkan komponen frekuensi menengah dan tinggi. Karena derau tersebar ke seluruh rentang frekuensi, penghilangan komponen frekuensi ini sekaligus menghilangkan derau. Penalaran dari kawasan frekuensi dapat secara mudah dipakai untuk menjelaskan hilangnya sebagian besar derau dari citra yang terkotori.

Bagi saya, yang lebih sulit adalah menjelaskan proses ini dari kawasan ruang-waktu. Ini sangat penting untuk menjelaskan proses hilangnya derau kepada mahasiswa. Setelah cukup lama bersarang di alam bawah sadar, teka-teki ini muncul kembali sewaktu memberikan kuliah dasar-dasar statistik dalam pengolahan citra. Sub topik kuliah hari itu adalah sebaran normal dan LCT (Limit Central Theorem).

LCT adalah teorema fundamental kedua dalam teori peluang setelah LLN (the Law of Large Numbers). Dalam kalimat yang agak bebas, LCT mengatakan: jika X₁, X₂, …, X_n adalah n-buah peubah acak saling bebas dengan sebaran identik (i.i.d.-independent and identically distributed) dengan mean m dan variansi s² yang berhingga, ketika jumlah titik cuplikan meningkat, maka nilai rata-rata cuplikan akan semakin tersebar secara Gaussian dengan variansi s²/N.

Pada penapisan dengan jendela berjalan, kita memilih satu piksel untuk diubah nilainya. Kemudian, piksel-piksel tetangganya yang masuk dalam jendela dihitung nilai rata-ratanya. Nilai rata-rata inilah yang selanjutnya dipakai untuk memperbarui nilai piksel yang ditinjau.

Hasil terakhir dalam LCT, yakni mengecilnya variansi, menjelaskan mengapa nilai derajat keabuan dari satu piksel ke piksel tetangganya hampir seragam atau tidak berubah banyak. Ini akibat turunnya variansi dari s² menjadi s²/N. Artinya gambar menjadi halus, dan derau berkurang. Dengan demikian, teka-teki hilangnya derau terjawab sudah.

Kekurangan dari teknik perata-rataan ini adalah citra akan menjadi kabur, detail dari citra bisa lenyap. Ada berbagai cara lain yang dapat dipakai untuk perbaikan citra, misalnya menggantikan mean dengan median. Cara yang kedua ini malahan lebih kokoh terhadap derau impuls. Namun demikian, penapisan median tidak dapat dilakukan dalam kawasan frekuensi. Jika dibutuhkan proses yang cepat, penapisan kawasan fekuensi menjadi pilihan karena tersedianya algoritma cepat FFT (Fast Fourier Transform). Lahirnya beberapa teknik alternatif yang tidak bisa dijelaskan dengan teori sistim linier, seperti penapisan median, dapat mengubah pendekatan pengolahan sinyal menjadi proses komputasi. Setelah masa DSP (Digital Signal Processing) berlalu, barangkali akan lahir bidang ilmu baru– Algorithmic Signal Processing.